Case1：θ = 0.95

1️⃣ 时间序列图

• 可以看到 呈现一种 “缓慢变化”“连续感较强” 的特征；

• 这说明相邻两期之间的噪声是 正相关 的 —— 因为上一期的 被正权重 0.95 加入当前期。

解释：

当 时，若某一期 比较大，则下一期 也会较大；噪声效应“延续”到下一期 → 序列较平滑。

2️⃣ 自相关函数

• 在 滞后 1 阶 时的自相关 ρ(1) ≈ 0.5，非常显著；

• 从滞后 2 阶开始几乎为 0。

• 这正是 MA(1) 模型的理论特征：
对 ，有 ，与图中吻合。

时，序列表现出明显的正短期相关性，走势较平滑，ACF 在 lag=1 迅速截尾。

Case2：θ = -0.95

1️⃣ 时间序列图

• 走势更“锯齿化”，呈现明显的 正负交替波动；

• 因为当前期与上一期噪声相加时符号相反，若上期 正，这期会被抵消一部分甚至反向。

解释：

当 时，上一期噪声影响与当前噪声相反 → 相邻项出现“反向跳动”。

2️⃣ 自相关函数

• 滞后 1 阶的自相关 ；

• 之后同样迅速衰减为 0；

• 表明仅在第一阶存在显著负相关。

时，序列相邻项强烈反向，ACF 在 lag=1 处为负且截尾，反映 MA(1) 的“负短期记忆”特征。

1️⃣趋势项（红线）

• 呈明显线性上升，斜率 ≈ 0.5；

• 捕捉了长期上升趋势；

• 拟合效果与原始数据的上升走势基本一致；

• 说明回归模型成功提取了长期线性趋势部分。

2️⃣季节项（蓝线）

• 呈标准的正弦波动，每 4 期为一个周期；

• 代表数据的周期性或季节性变化；

• 在原始序列中表现为围绕趋势上下波动的规律。

3️⃣残差项（绿线）

• 波动幅度极小，基本围绕 0；

• 说明模型对趋势与季节成分的提取较好；

• 剩下的部分可视为纯噪声。

4️⃣指数平滑曲线（紫线）

• 明显比原序列更平滑；

• 能够追随长期上升趋势，但不再反映高频的周期波动；

• 表示“强记忆”，权重衰减慢，因此平滑线略有滞后。

当 ρ 较大时（如 0.9），近期观测的影响权重大，结果相对稳定但反应较慢。

因此紫线始终“略微落后”于真实值变化。